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浅谈菲波纳契数列的内涵和应用价值
99数学本四班 莫少勇指导教师 孙丽英
论文摘要开头，本文起始于菲波那契数列，借由对其数学内涵予以深究，以及对其在现实生活里应用的探寻，来提升学生针对数学的欣赏水平，初步构建起数学建模的思维理念kia云手机版登录，因而提升运用数学知识剖析实际问题的能力。
关键词 Fibonacci数列 黄金数 优选法
数学美，不但存在形式的和谐美存在，而且存在内容的严谨美；并且不但存在语言的简明、精巧美，而且存在公式、定理的结构整体美；不但存在逻辑、抽象美，而且存在创造应用美。古希腊的毕达哥拉斯学派，最先从数的比例里求出美的形式，发现了黄金数。神奇的菲波纳契数列正是在黄金数之后的一大发现，它又被称作“黄金数列”。
1.Fibonacci数列的由来
被提出的Fibonacci数列，那时和兔子的繁殖问题相关联，它是一个相当重要的数学模型。这个问题是这样的：存在一对小兔，到了第二个月它们变得成年，第三个月会生下一对小兔，往后每个月都会生产一对小兔，而且所生下的小兔也在第二个月成年，第三个月又生产出另一对小兔，之后同样每月生产小兔一对，假设每产出一对小兔必定是一雌一雄，并且都没有死亡情况kiayun手机版登录打开即玩v1011.速装上线体验.中国，问一年之后总共会有几对小兔？
对于n等于1，2，一直到无数个数字中任意一个数字使得Fn表示，从第n个月开始的时候，兔子的总对数，Bn被称作未成年的兔子的对数也就是简称所说的小兔对数，An被称作成年的兔子的对数也就是简称所说的大兔对数，那么Fn等于An加上Bn 。
根据题设,有
明显地，F1被设定为1，F2同样被设定为1，并且自第三个月起始，每个月的兔子总数精准地等于它前面两个月的兔子总数相加之和因此按照这样的规律咱们获得了一个带有初始值的递推关系式:。
若我们规定F0=1,则上式可变为
这便是Fibonacci数列的平常定义，即数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…… ，此串数列具备的特点是：其中任意一个数均为前两个数的相加之和 。
意大利数学家梁拿多（Leomardo）在所著的《算盘全集》中提出过这个兔子问题，梁拿多又名菲波纳契（Fibonacci），所以这个数列被称作菲波纳契数列，其中每一项被称作Fibonacci数。
它的通项是Fn=
()n+1-()n+1
,由法国数学家比内(Binet)求出的。
二.Fibonacci数列的内涵
Fibonacci数列通项的证明，我们能够借助求解常系数线性齐次递推关系，或者运用生成函数法来达成。
证法一:
因为，菲波纳契数列属于一个二阶的线性齐次递推关系，它的递推方程是，x 的平方减去 x 再减去 1 等于 0，。
特征根是
∴通解是Fn=C1()n+C2()n
代入初值来确定C1、C2,得方程组
解这个方程组得
C1=,C2=
∴原递推关系的解是
Fn=
()n+1-()n+1
证法二:
设Fn的生成函数为 F(x) ,则有
F(x)=F0+F1x+F2x2+……+Fnxn+……
存在x，使得（F(x)减去F0），等于F1乘以x的平方，加上F2乘以x的三次方，一直加到Fn - 1乘以。
x2F(x)=F0x2+F1x3+……
把以上式子的两边由上而下作差得
F(x)，其乘上(1 - x - x平方)后，再加上x，得F0，加上F1乘以x，加上(F2 - F1 - F0)乘以x平方，加上(F3 - F2 - F1。
=1+x+0+0+……
∴F(x)===+
由解得A=,B=
∴F(x)= -
∴取x=1,k=n,则Fn=
()n+1-()n+1
在Fibonacci数列里头，前面一项跟后面一项的比值，是以黄金数0.618作为极限的。
记bn=,则有b0==1b1==
b2==b3==
b4==b5==
…………bn=
在求数列的极限之前我们首先来证明以下两个命题:
对于 Fibonacci 数列，存在这样一个引理，在该引理中提到，其任意相邻的四项满足这么一个等式，即 Fn减2 乘以 Fn加1 再减去 Fn 乘以 Fn减1 等于负 1 的 n 次方，这里的 n 要大于或等于3 。
证明:根据行列式与线性方程组的关系,
方程组 的解是
x===Fn-1
y==
()n+1-()n+1
=Fn
∴Fn-1、Fn满足原方程组,于是有
把以上方程组的两边对应相乘,得
整理得,Fn-12+FnFn-1-Fn2=(-1)n+1
先用\(F_n\)减去两个\(F_{n - 1}\)的结果的差，再乘以\(F_n\。
Fn-2Fn+1-FnFn-1=(-1)n证毕。
(ii)数列存在极限。
证明，由引理所知晓，当呈现n等于2k加1这种状况时呢，Fk减去2倍的Fk加1，再减去Fk与Fk减1的乘积，其结果等于负10 。
因此分别有
即数列递增,数列递减。
显然,, ∴数列有界。
鉴于“单调有界数列必有极限”这个结论，可以知道是存在极限的，假设这个极限等于Akiayun手机版登录app游戏登录入口.手机端安装.cc，又假设另外一个极限等于B 。
分别对b2n=及b2n+1=两边取极限有A=, 与 B=
即有与
∴,则必有 A=B≠0
∴数列极限的存在性可证。
于是由(ii)我们可求。
根据Fibonacci数列的通项以及===≈0.618
三.Fibonacci数列的应用价值
科学家发觉，在数学范畴里，存在着好多饶有兴味的现象，这些现象与Fibonacci数列相关，于自然界当中，同样有着诸多有趣的现象，跟那个Fibonacci数列关联着，下面即是所举之例，如下所示：
杨辉三角，其对角线上各个数的和，能构成Fibonacci数列，也就是。
Fn=
例2.多米诺牌，其样子可被看成是一个2×1大小的方格，它能够完全将一个n×2的棋盘给覆盖住，所覆盖的方。
案数等于Fibonacci数。
例句3.就蜜蜂的繁殖情形而言，雄峰单单只有母亲，而不存在父亲，这是由于蜂后所产的卵，经过受精的那些会孵化为雌 。
蜂，那些没有受精的则孵化为雄峰，人们在对雄峰的祖先进行追溯这样的行为的时候，发现了这样一种情况，一只雄峰的，处于第n代的祖先的数目，恰好就是Fibonacci数列的第n项Fn 。
例4，钢琴有着13个半音阶，其排列状况，全然跟雄峰第六代的排列情形相类似，这表明了音调，同样与Fibonacci 。
数列有关。
例5，自然界之中有一些花朵，其花瓣数目符合于Fibonacci数列，换而言之，在大多数情形之下，一 ， ：
朵花花瓣的数目都是3,5,8,13,21,34,……。
倘若是一根树枝，每一年都会进而生出一根全新的枝丫来，然而所生长出的新枝，历经了两年之后呢，每一年同样也会生长出一根新枝 。
那么历年的树枝数,也构成一个Fibonacci数列。
在一些实际问题之中，Fibonacci数列有着重要价值，其价值在于它能够成为对应的某种数学模型，借助该数学模型，便可以使那些复杂的实际问题，转化到我们熟悉的数学问题的解决途径之上，进而得以处理 。
问题一：存在一条拥有n级的楼梯，要是每一步仅仅能够跨上去一级或者两级，那么请问想要登上去，总共会有几种走法呢？
剖析：鉴于迈上 n 级台阶能够从第 n 减 2 级径直抵达，还能够经由第 n 减 1 级逐步上去，这般登上 n 级台阶的移步办法不但和登上 n 减 1 级的移步办法存在关联，而且也和登上 n 减 2 级台阶的移步办法有关联，所以在此能够思索借助二阶递推式来加以求解。
解:登上第一级只有一种走法,记a1=1,
登上第二级,有两种走法,记a2=2,
如果你想要登上那第n级，那么存在两种可能情况，一种可能是从第n - 1级走上来的，另一种可能是从第n - 2级跨上两级上来的，所以因此得出有an等于an - 1加上an - 2 。
显然这是缺了F0项的Fibonacci数列,它的通项为
Fn=
()n+1-()n+1
所以要登上第n级楼梯,共有Fn种不同的走法。
问题二：存在某一种产品，其质量由它的温度所决定，而这个温度被估计处于1000C至1500C之间，那么怎样去试验方可找到最为适宜的温度呢？
有这么一些人，他们从1001C这个温度起始，开启了试验的进程，持续不断地进行着，一直推进到1499C这个温度点，总共开展了499次的试验操作，最终从而寻觅到了最佳的温度，而这种方式被称作均分法。显而易见，这无疑是一种相当笨拙的方法。要是我们借助Fibonacci数列所蕴含的知识，仅仅需要进行13次的实验即可 。
