kiayun手机版登录入口 机器学习里的卷积，到底是什么？

把卷积，也就是Convolution，说成是一种极其复杂的数学处之手段不算过，它的应用范围特别广泛，像信号处理时会用到它，图像处理领域也会用到它，机器学习范畴也缺不了它，神经网络这个领域同样用得上它。它存在着一维的定义以及应用这方面情况，还有二维、三维的定义以及应用这方面情形。在这儿，我们仅仅是对一维意义下的定义以及应用予以介绍。这篇针对文章而言，并非是要去阐述卷积的那种深奥理论内容，而单单只是从一维这个角度上来讲述一下卷积的原理以及像是计算过程等相关内容要素，目的是为了能让你对它形成一种感性上的认知。要是当中存在诸如不严谨之类的状况之处呀，希望能得到你的不吝赐教并予以指正啊 。

一、卷积的定义

首先，我们清楚结构系统的响应衰减是需占用时间的。系统遭受激励（输入）后，会生成响应（输出），倘若系统的阻尼小，那么，响应衰减到零要耗费漫长的时间。在此，我们拿锤击激励当作例子来予以说明。要是系统在遭受首次锤击之前，系统处于静止状况，那么，系统的响应仅和这次激励相关，如图1所示。

图1 结构在静止时受到第一次的激励（上）与响应（下）

倘若测量是以紧密且连续的方式开展的，此方式指的是尚未等到上一次的响应衰减至零，便已然实施了下一次的激励。在这个时候，第二次激励之下的响应涵盖了第一次锤击之后所剩余的响应，并且第三次测量的响应包含了第二次或者前两次锤击的残余响应，就如在图2当中所呈现的那样。从另外的一个角度来说，第二次的响应除了含有第二次的激励所产生的响应之外，还额外叠加了第一次激励所产生的“残余”响应；第三次的响应除了有本次激励所创造的响应以外，还额外叠加了前两次激励所生成响应的“残余”部分。

图2 第二次测量的响应包含前一次的“剩余响应”

要是这个过程不间断地持续开展，并且两次激励的时间间隔极为短暂。那么，每一次测量得出的响应（除了第一次之外），并非仅仅是这一次锤击所引发的结构响应，还涵盖了前一次、前两次、前三次，又或者是前n次锤击所造成的结构的残余响应，就如同图3所表现的那样。

换言之，系统的响应，并非仅仅关联于当下时刻系统的输入，还同之前若干时刻的输入存在关联，鉴于此，人们可理解为，这是由之前时刻的输入触发后其输出历经某种过程（诸如衰减、削弱或者别的过程）对当下时刻系统输出所产生的影响，如此一来，显而易见的是，我们在计算系统输出时必然需要思考当下时刻的输入引发的响应以及之前若干时刻输入引发的响应于当前时刻所留下的“残余”影响的一种叠加后的呈现效果，。

图3 紧密方式下的输入（上）与输出（下）

线性时不变系统当中，我们晓得其响应等于激励乘频响函数 的情况是在频域，然而在一定程度上，的确很难 确切反映出如此这般的“残余响应”的叠加效果。此时，要是从时域这个角度出发，借助线性系统的响应y （t ）源于时域输入x （t ）跟脉冲响应函数h （t ）的卷积（ *表示卷积）进而得出，也就是 ：

式子里面，变量u依旧是时间，其跟当下正要去计算的响应时间t的差异处在，t代指当下须要去计算的响应时刻，然而u是从首次输入时刻一直到当下所要计算时刻区间之内的全部时刻，换句话讲，某个时刻的系统响应是由当下输入所引发的响应，跟之前每一次输入所引发的响应于当下时刻形成的“残余响应”加起来而获得的。

所以，积分的范围限定了需考量的时间范畴，也就是说，当下时刻的系统响应和多久之前时刻的响应出现的“剩余部分”存在关联。由上面的式子能够看出，卷积属于一种积分运算方式，它能够对线性时不变系统的输入和输出二者之间的关系予以描述：也就是输出能够借助输入跟系统的脉冲响应函数借助卷积运算而得出。

所给出的上述是具有连续性特质的积分定义，就信号处理这个范畴来说，鉴于经过数字化之后的信号属于离散性质的，所以，卷积在这种状况下的离散定义呈现为求和的形式，也就是：

通过上面可以看出的那个卷积公式知道，要去计算当前时刻的系统响应，就得考虑之前的所有时刻，借助这样才能够得到一个得到一个单值响应。这个进行着操作很像卷类似图4的手绢过程kiayun手机版登录入口，把整个的时间区间“施展那种卷起来”这个动作，进而得到一个单值结果。卷积英文是Convolution，而用来表示它的这个动词是convolve，这个动词是出自于拉丁语系的，源于里头的con和volve，它们分别是“凑到一起”和“使得卷起来”有着这样的意思，所以，由convolution所代表的是凑到一块儿卷起来模样的东西。

图4，其为卷手绢的相关内容，来源是，https://www.zhihu.com/tardis/bd/ans/228543288?source_id=1001 。

二、卷积的计算过程

确实，卷积处理属于极为繁杂的进程，然而卷积的计算相对而言不复杂，恰似一个积分处理流程。存在两个信号实施卷积，进而致使卷积之后的信号涵盖了原始信号的“特征”。于上式里，变量u是时间，并且t也是时间，换句话说计算特定时刻t时的卷积值得针对整个时间范围（此范围要涵盖之前的“残余响应”）开展积分计算，以此获取这个时刻t所对应的一个单值，接着转移至下一个时刻，再度重复该流程，直至计算完所有的时间。

要让你清楚卷积的计算进程，在此处，我们把计算进程划分成几个子进程，像图5呈现的那样。有限长度的脉冲响应函数h（t）如5a图所示，然而咱们留意到kiayun手机版登录app游戏登录入口.手机端安装.cc，卷积定义公式里用的是h（t - u），并非h（u），所以，得把脉冲响应函数h（u）反转成h（- u），也就是将h（u）沿着u轴（又称x轴）翻转（即镜像）成为。

关于h（- u），其形象呈现于如图5b所示的情形之中。随后呢，要把h（- u）沿着x轴向特定方向进行平移工作，当抵达“起点” u = t这个位置的时候，此时能够这样认定，h（0）与h（t - u）存在对应关系，呈现出图5c那样的情况，。

要是 t 呈现为正值，就会顺着 x 轴正向予以移动；要是 t 呈现为负值，那就会沿着 x 轴负向进行移动。图 5d 展现的是 u 时刻针对系统的输入信号，随后两个信号相乘并且对时间展开积分，我们明白，积分是个求面积的进程，故而，在图 5e 里，积分是去计算图中所显示的阴影部分的面积，处在 x 轴之上以及之下的面积按照代数和相加从而得到时刻 t 所对应的结果。

卷积处理的复杂之处在于，上述所描述的过程仅仅是获得一个单值。那么要是想要去计算下一个时刻的值y（t2） ，就需要把h（- u）沿着x轴进行平移，一直平移至u = t2 ，之后再与输入信号相乘，通过积分从而得到这个时刻的值。然后接着把这个过程再重复一遍， 一直不断重复，直到把时间轴上所有要进行计算的时刻都计算完毕为止。

图5 卷积计算过程说明

于卷积之情形里，x（u）所呈现者，为过去 u 时刻（规定 t 指代当前时刻）的那个输入，然而，t - u 所表征的乃是过去 u 时刻跟当前时刻之间的差值哟，所以呢，h（t - u）所代表的便是 u 时刻于单位脉冲输入状态之际下的响应，此响应处在当前时刻的“残余”啦。当 u 自 -∞始，一直到抵达当前时刻这一时间段时，这期间所关乎的乃是针对过往所有时刻输入情形之下的“残余响应”实行叠加而去到过程啲。在处理针对全部时间轴范畴内响应y（t）的计算操作时，脉冲响应函数h（t - u）会使得自时间轴起始点直至终点的过程中，以特定方式进行滑动通过，这种滑动进程表明了脉冲响应函数具备一种权重作用。进而，当开展对时间t处响应y（t）的计算工作时，其本质是输入信号x（t）在时间维度上，借助脉冲响应函数施行的一种“向后”计权操作。

对以上所考虑的，过往时间针对当前时刻产生的叠加效果而言，放在信号处理里，要是在频域实施卷积，那就是考虑离散的谱线。在这个时候，计算处在任何一个频率处的值，都得考虑整个频率范围。这指的便是，当前频率之前以及之后的所有谱线的叠加效果。

三、卷积的基本性质

卷积最为关键的性质是被叫做卷积定理这一项，也就是信号二者进行卷积之后所产生的傅里叶变换是各个信号分别进行傅里叶变换而形成的相乘之结果 ， 所讲的卷积定理 区分成为了被叫做时域卷积定理以及同样被叫做频域卷积定理，所谓时域卷积定理表述的便是在时域里发生的信号卷积对应着信号从时域在频域上体现的相乘 ， 而频域卷积定理指的恰巧是在频域表现的信号卷积对应着时域范畴内的相乘 。也就是：

1）交换律：改变信号的顺序进行卷积，不会改变卷积结果，即：

２）存在着这样一种结合律，当好多信号去进行卷积之际，把两两卷积的先后顺序予以改变，可是并不会改变卷积所产生的结果，具体来说就是 ：

3）分配律：存在两个信号，它们相加之后去与第三个信号进行卷积，其结果等于这两个信号分别和第三个信号进行卷积后所得结果之和，具体来说就是：

4）数乘：设 a 为常数，则有：

5）保持不变的特性：信号跟处于同一时刻的狄拉克函数开展卷积运算，结果依旧等同于原来的信号，。

6）平移的特性：信号跟不同时刻的狄拉克函数做卷积，其结果等同于把原信号予以平移：

7）求导规则：

四、卷积在NVH中的应用

卷积于信号处理里存有诸多应用，然而它是个黑匣子，往往在我们毫无察觉的情况下就会被用到卷积，像采样过程，加窗处理，相关分析，噪声源定位等这一类信号处理应用 。

在针对模拟信号进行采样继而获得数字信号的进程当中，会运用一组时间间隔为 t = 1/fs 的脉冲序列（此为图6c），使其去和原始的模拟信号（也就是图6a）相乘，最终得以获取采样之后的数字信号（即图6e）。依据卷积定理能够知道，两个信号的时域乘积的傅里叶变换等同于这两个信号的频域卷积。处于时域的这个脉冲序列的傅里叶变换（就是图6d），依据频域而言同样是一组脉冲序列，相邻脉冲的频率间距等同于采样频率 fs 。

换而言之，时域脉冲序列所拥有的频谱乃是频率间隔为采样频率 fs 的脉冲序列。信号之频谱（图6b），与时域脉冲序列的频谱（图6d），于频域这个范畴进行卷积操作，将会产生出重复光谱：用以进行采样操作的信号之频谱，将会伴随着每个采样频率的整数倍数，其中还涵盖了0倍这一情况，作为中心点而重复展露，恰似图6f所清晰体现的那般。

所以，为了确保频域卷积不会出现互相重叠的频谱情况，采样信号的带宽必定应当低于 fs/2 ，也就是奈奎斯特频率的数值。经由实施采样定理操作，我们能够保证信号的带宽丨B丨 。< fs/2 的采样信号的频谱与原始信号的频谱相同。因此，在采样过程中，模拟信号与时间序列脉冲的乘积对应它们频谱的卷积，而我们大多数看到的是采样后的信号频谱，因此，对于我们而言，卷积是一个黑匣子。

图6 采样过程示意，两信号频域的卷积使得频谱重复出现

在对信号施加窗函数之时，其实质恰是运用一个窗函数去跟采样之后的时域信号相乘的过程，而加上窗功能也能够于频域去开展，然而于时域进行则更具广泛普遍性，如此一来，会致使相乘之后的信号好像更优地契合傅里叶变换的周期性需求。虽说窗函数是应用于时域，借助对实际所捕获的时域信号乘以时域窗函数，可是窗方法的影响力于频域更为显著。于频域而言，实际上是频域的实际信号与窗函数谱线的卷积。这种影响以简单的示意性方式展示于图7之中，图里面呈现出三条谱线的窗函数频谱以及一个离散的单频正弦波，。时域窗函数与测量数据的乘积导致了频域的卷积。

理论窗的频谱，与实际信号相乘积，于每个f处，生成的一个值，由此形成叠加。在此例当中，在第七个f处，实际信号乘以了，被假设为具有三个瓣的窗函数。把第一个f纳入考量，在此频率处，信号的值为0，这是由于，窗函数相应每一项，也即，（ 1-kf ），乘以，这个信号之总和，结果为零 。直到窗的主瓣处在第六个f的时候，这些值才会有非零值，在此之前这些值都为0，主瓣的位置处在第七和第八个f处，也就是 -1 ≤ f - 7f ≤ 1的时候，才会有非零值，与此同时其他位置的值都为0值。

图7 理论窗与实际信号在频域的卷积示意

于数字化的信号着手升采样之际，需于采样点之中间开展插值这一操作，此操作能够借由下面所提及的卷积公式予以插值处理。在针对t时刻实施插值之时，算式里面的x（n）属于原始已采样的信号，且sinc函数汇聚于插值点之处kiayun手机版登录打开即玩v1011.速装上线体验.中国，若要计算时刻t处的插值，就得把整个原始数字信号的采样点纳入考量范围之内。

来看图8，对频率是1V、20Hz的正弦波着手进行采样，假定图8里红色曲线是在采样频率为12800Hz情况下的信号，此信号为真实的原始信号。要是按照频率成分的3倍，也就是采样频率变为60Hz的时候，所得到的信号如图8中绿色曲线那样，能够看出，在这个时候，幅值失真十分明显。针对此采样频率下所得到的数字信号实施升采样，升采样频率设定为2000Hz，如此一来，就需要在60Hz采样频率下的各个采样点之间开展插值处理，该插值依照上式来进行，最终得到插值后的信号如图8中蓝色十字所呈现的那样。可以从这里看出，在符合采样定理限定的前提状况之下，哪怕采样以后的信号幅值出现失误，依旧能够依据上面那个式子重新构建从而获得原本的信号。

图8 对低采样率的信号进行插值

固然，除开上述几种应用以外，卷积于信号处理之中存有诸多应用，像是相关运算能够借由卷积予以求得、噪声源定位之类。卷积计算实实在在是一个黑匣子，有时我们压根不清楚应用背后存在卷积应用。然而搞清楚卷积处理能够让我们更加好去弄明白信号处理背后的原理跟过程。

参考：

谭祥军所著，机械工业出版社二零一九年出版的著作，名为模态试验实用技术——实践者指南 。

3. 接着来讲卷积的本质以及物理意义，那解释得可真是充满了诙谐有趣的意味！关于算法与数学所蕴含的美妙之处，在2021年 。