17.1 勾股定理（第2课时 勾股定理在实际生活中的应用）（教学课件）-【上好课】八年级数学下册同步高效课堂(人教版)
第二课学习勾股定理在现实中的运用，第十七章内容为人教版八年级下册的勾股定理，17.1主题是勾股定理的实践应用，学习目标包括两方面，一是能从具体问题中识别直角三角形，再运用勾股定理求解，二是通过勾股定理来验证全等三角形HL判定法的准确性，复习时要掌握勾股定理的基本内容，直角三角形的两条直角边长度记作a和b，斜边长度记作c，定理内容是两直角边的平方和等于斜边的平方，几何上解释为直角三角形两直角边的平方和正好等于斜边的平方，用符号表示为在直角三角形ABC中，如果∠C是直角，那么a的平方加上b的平方等于c的平方，公式还可以变形，引入新情境后思考是否有其他解决方法这个门框的规格如图所示，一块长三米，宽二点二米的长方形薄木板能否从门框内穿过去？原因是什么？一、在现实生活中建立直角三角形分析：可以看出木板横着或者竖着都不能从门框通过，那么斜着是否可以穿过去呢？ABDC典例解析首个问题 一道门框的规格如画面所示，一块长三米，宽二点二的正方形薄木板能否从门框中穿行过去，原因是什么？m2mBD分析：门框对角线 AC 的尺寸是倾斜方向能够穿过的极限距离，计算出 AC 的具体数值，然后将其同木板的横向尺寸进行对比，由此可以判断木板是否能够顺利通过，AC 经典案例分析例1，某个门框的规格如图所示，一块长 3 米，宽 2.2 米的长方形薄木板能否从门框内穿行，原因是什么在直角三角形ABC里，依据勾股定理，AC的平方等于AB的平方加上BC的平方，即AC的平方等于1的平方加上2的平方，结果是5，所以AC的长度是根号下5，约等于2.24米，这个长度比门框的宽度2.2米要大，因此木板可以从门框中穿过去，AC的值是2.24米，通过这个例子，可以了解到如何从实际情景中构建出直角三角形，并运用勾股定理来计算边长，以解决实际问题，这是典型的案例分析，例2展示了一架长度为2.6米的梯子AB，它斜靠在一面竖直的墙上，墙的高度AO是2.4米，如果梯子的顶端A沿着墙下滑了0.5米，那么梯子的底端B是否也会向外移动0.5米，这是一个典型的案例分析，通过这个例子，可以进一步理解直角三角形和勾股定理在实际问题中的应用，0.5米，是否移动了0.5米。考察：底部B点是否位移半米，实质上需计算BD，而BD等于OD减去OB，梯子移动过程中其长度恒定（即AB等于CD均为2.6），AO为确定边长，CO等于AO减去AC，因此OB能在直角三角形AOB中应用勾股定理推算出，OD也能在直角三角形COD中应用勾股定理推算出开元棋官方正版下载，二者相减便得出BD结果。解：在直角三角形AOB中，依据勾股定理可知OB的平方等于AB的平方减去OA的平方，即OB的平方等于2.6的平方减去2.4的平方，计算结果为1，所以OB等于1。在直角三角形COD中，依据勾股定理可知OD的平方等于CD的平方减去OC的平方，即OD的平方等于2.6的平方减去2.4减去0.5的平方，计算结果为3.15，所以OD等于根号下3.15，即OD约等于1.77。由此可见，当梯子的顶端A沿墙下滑0.5米时，梯子底端B并非外移0.5米，而是外移了大约0.77米。例2 如图，一架长度为2.6米的梯子AB斜靠在一面竖直的墙AO上，此时AO的长度为2.4米。如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B是否会外移0.5米呢？因此OD的长度为根号下3.15，即OD约等于1.77，所以BD的长度等于OD减去OB，即BD等于1.77减去1，计算结果为0.77米。日常生活中，通常将柱子、电线杆、楼体、旗杆、墙壁、地板、门窗玻璃、书架、桌子等物体视为垂直状态。这些物件在规划与制造时，大多会保证其局部或全部跟地面或别的物件形成正交状态，以便符合稳固性和使用要求。所以，一旦这些物件在题目里出现，就视为已知直角。归纳概括针对练习在一场飓风的冲击下，小明的住宅前方的一株树木在距离地面6米的地方分叉，树的顶端掉到距离树底9米的地方。你能告知小明这株树木折断前有多高吗？针对这个练习，先考虑两棵树之间的距离，它们相隔8米，一棵树的高度是8米kaiyun全站登录网页入口，另一棵树的高度是2米，鸟儿要从高树飞到低树，需要经过一段斜线，这段斜线的长度就是鸟儿飞行的最短距离，可以通过勾股定理来计算，已知两棵树之间的水平距离是8米，高度差是6米，所以鸟儿飞行的距离等于8米的平方加上6米的平方再开平方根，计算结果是10米，因此鸟儿至少需要飞行10米。AC：依据图形，从 A 点引出 AC 垂直于 BC，交点为 C. 根据条件，AC 的长度为 8 米，BC 的长度等于 8 减去 2，即 6 米. 小鸟飞行距离最小为 10 米，AB 的具体数值为 10 米. 例题解析3：古代数学典籍《九章算术》记载过一个案例，原文表述为：有一个边长为一丈的正方形池塘，池中央生长着芦苇，其露出水面的部分为一尺，将芦苇拉向岸边，恰好与岸边相接，请问池塘的水深和芦苇的长度分别是多少？有一个水池，它的水面呈正方形，每边长度为十尺，水池中央长着一片芦苇，其高出水面高度为一尺。当将芦苇向水池某一边的中心线牵引时，芦苇的顶端正好触及池沿的水面。请问这个水池的深度和芦苇的长度分别是多少？设A B=C=x,那么A C=C+1,依据A B^2+B C^2=A C^2,能够建立等式,得出x^2+25=(x+1)^2,求解等式得x=12,由此C+1=13答:该水井的深度为12尺,那株芦苇的长度为13尺方程观念二、用勾股定理方程解决实际应用题专项训练如图,存在一个秋千,在它静止时,踏板距离地面1尺,将其向前推动10尺,秋千的踏板就和人的身高持平,此人的身高为5尺,假如此刻秋千的绳索完全绷紧,询问它的长度是多少解：假设绳索长度为 x 尺，根据直角三角形 ABD 的性质，BD 的平方加上 AB 的平方等于 AD 的平方，即 10 的平方加上 x 减去 5 再加 1 的平方等于 x 的平方，计算得出 x 等于 14.5，因此绳索的长度为 14.5 尺，方程思想总结：通过建立勾股定理的方程来解决问题，将实际情境转化为数学中的直角三角形边长求解问题。找出题目里的直角三角形，分清楚哪条边是直角边，哪条边是斜边。依照题目所给信息，选定合适的未知数来代表直角三角形的边，然后借助题目里提供的边长关联、角度关联等条件，构建出勾股定理的方程式。求出方程里的未知数值，并核实计算结果是否满足题目的规定和已知条件。矩形ABCD内，小蚂蚁从A位置移动到C位置寻找食物，它前进的最短路径是哪条？因为AB与CD之间，线段距离最短。典例分析例4 图中，一个圆柱形桶，底部直径为16厘米，高度为18厘米，有一只小蚂蚁从下底面A点爬到上底面B点再返回A点，这只蚂蚁行进的最短轨迹有多长？圆桶底面直径是16厘米，高为18厘米，蚂蚁从下底点A爬到上底点B再返回A，求最短路径长度，需要将圆柱侧面展开，变成矩形，矩形长等于底面周长的一半，宽等于圆柱高，接着用勾股定理计算，可以得出答案，这是解决几何体表面最短路径问题的方法圆周率近似值为3时，AB24厘米18厘米解答：将圆柱体侧面展开后如图所示，依据线段最短原理可知AB为最短路径．依据题目条件，BC长度等于3乘以16除以2，结果为24厘米，在直角三角形ABC中，运用勾股定理计算得出AB等于30厘米．因此蚂蚁往返爬行的最短路径总长为60厘米空间几何体平面图形转换展开要点说明：C专项训练如图示，长方体底面长宽分别为1厘米和3厘米，高为6厘米，假设用细线从A点开始沿四个侧面环绕一圈到达B点，那么细线最短需要多长？运用转化思路分析此题，长方体底面长宽分别为1厘米与3厘米，高有6厘米，现需一根细线从顶点A开始，依次穿过四个面，绕行一圈最终到达顶点B，求此细线最短需要多长？将长方体展开，连接AB′，因为AA′等于1加3再加1再加3，总共是8厘米，A′B′等于6厘米，按照两点之间线段最短的原则，AB′等于10厘米，所以需要用的细线最短是10厘米。典例分析例5，如图，有一张直角三角形纸片，∠ACB等于90度，AB等于5厘米，AC等于3厘米，现在将ABC折叠，让边AC和AB重合，折痕是AE，求CE的长度。因为∠ACB等于90度，AB等于5，AC等于3，所以BC等于4，根据折叠的性质得出AD等于AC，也就是3厘米，∠ADE等于∠C，都是90度，所以∠BDE也等于90度，BD等于AB减去AD，结果是2厘米，设CE等于x，那么BE就等于4减去x，在直角三角形BDE中，根据勾股定理得出2的平方加上x的平方等于4减去x的平方，解得x等于1.5，所以CE等于1.5。四、勾股定理在折叠问题中的应用方程思想针对练习，如图，在长方形纸片ABCD中，点E和F分别位于BC和AB上kaiyun.ccm，将BEF沿EF翻折，点B落在AD上的点P处，并且AB等于4，BE等于5，那么AP的长度是( )A．1B．2C．3D．4B【小结】在折叠问题中，直角三角形可能并不总是显而易见的。要弄清折叠前后形状的变化，必须研究角度的对应情况，才能分辨出哪些区域构成了直角三角形，这个知识点在八年级上册时，我们曾经借助图形推导出过：如果两条直角边和斜边分别相等的两个直角三角形，它们是全等的，学习了勾股定理之后，你能证明这个结论吗？先描绘图形，再列出已知条件与需要证明的内容如下：已知：如图，在直角三角形ABC和直角三角形A′B′C′中，∠C =∠C′ = 90°，线段AB等于线段A′B′，线段AC等于线段A′C′．需要证明：三角形ABC全等于三角形A′B′C′．五、借助勾股定理探究“HL”全等判定条件思考 证明：在直角三角形ABC和直角三角形A′B′C′中，∠C =∠C′ = 90°，依据勾股定理可知:线段BC的长度等于，线段B′C′的长度等于已知：如图，在直角三角形ABC和直角三角形A′B′C′中，∠C =∠C′ = 90°，线段AB等于线段A′B′，线段AC等于线段A′C′．需要证明：三角形ABC全等于三角形A′B′C′．因为线段AB等于线段A′B′，线段AC等于线段A′C′，所以线段BC等于线段B′C′，所以三角形ABC全等于三角形A′B′C′．当堂练习1．如图，某公园内的一片草坪是矩形ABCD，线段AB长度为8米，线段BC长度为6米，为了方便人群，公园沿AC修建了一条捷径，一个人从A点经过B点到达C点走的路程比直接从AC点走的路程多了( )A．2米B．4米C．6米D．8米B当堂练习2．如图，甲、乙两艘船只从港口O同时出发，甲船向北偏西20°方向航行60海里到达点A处，此时，乙船到达港口O南偏西70°方向的点B处，与港口O相距80海里，那么此时甲船与乙船之间的距离为( )A．60海里B．80海里C．100海里D．140海里C当堂练习3．如图，在树上距离地面10米的D点有两只猴子，它们同时发现地面上C点有一筐水果，一只猴子从D点向上爬到树顶A点，然后利用滑绳AC滑到C点，另一只猴子从D点先滑到地面B点，再从B点跑到C点．已知两只猴子经过的路线总长度都是15米，求树的高度AB．当堂练习解：根据题意，线段BD长度为10米，线段BD与线段BC的总和等于线段AD与线段AC的总和，均为15米．设线段BC长度为a米，线段AC长度为b米，线段AD长度为x米，那么10加上a等于x加上b，且都等于15．因此a等于5米，b等于15减去x米．在直角三角形ABC中，∠B为直角，根据勾股定理，得到线段AB的平方加上线段BC的平方等于线段AC的平方，即(10加上x)的平方加上5的平方等于(15减去x)的平方．解得x等于2米，即线段AD长度为2米．因此线段AB长度等于线段AD加上线段BD，即2米加上10米，等于12米．答：树的高度AB为12米．当堂练习当堂练习当堂练习4．如图，在三角形ABC中，线段AB等于线段AC，线段BC长度为5，线段BD垂直于线段AC于点D，且线段BD长度为4.(1)求线段CD的长度；(2)求线段AB的长度．当堂练习当堂练习当堂练习5. 为筹备迎接新生联欢会，同学们设计了一个圆柱形灯罩，外表面涂成白色，然后缠绕红色油纸，如图所示．已知圆柱的高为108厘米，其横截面周长为36厘米，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，需要裁剪多长的油纸？为准备迎新活动庆典，大家制作了圆柱状灯罩，内壁涂成米色，接着包上朱红纸，如图所示。该灯罩的垂直方向长度为108公分，其横截面的边界长度为36公分，若在整体外层等距地包裹纸带4层，需要准备多长的纸带？解：如图所示，在直角三角形ABC里，已知AC长度为36厘米，BC长度为108除以4等于27厘米，依据勾股定理可以推算出AB的平方等于AC的平方加上BC的平方，即36的平方加上27的平方，结果为2025，也就是45的平方，因此AB的长度为45厘米，整个油纸的长度等于45乘以4，总共是180厘米，总结课堂内容，运用勾股定理处理实际问题时通常要经过以下环节：将实际问题转化为数学问题，构建几何模型，绘制图形，分析已知条件和未知量，这是使用勾股定理解决实际问题的基本方法，作业安排如下：第26页练习题的第1题和第2题，第28页习题17.1的第2题、第3题、第4题和第5题，拥有这套资料，教学准备将变得轻松便捷！在人教版 七年级下册谢谢观看4．图中，有人站在岸边的C点，用绳索将船拉近岸边，最初绳索长度CB为20米，CA垂直于AB且CA为12米，之后通过拉动绳索使船从B点沿BA方向移至D点，此时绳索长度CD为12米．(1)需要证明ACD是等腰直角三角形；(2)需要计算船移动的距离BD．(1)证明：根据题意，CA等于12米，CD也等于12米，并且∠CAD为90度，所以AD等于12米，即AD等于CA，因此ACD是等腰直角三角形．(2)计算：由于CA为12米，CB为20米，∠CAB为90度，因此AB等于16米，所以BD等于AB减去AD，即BD为4米．答：船移动的距离BD是4米．解：(1)因为BD垂直于AC，所以∠BDC和∠BDA都是90度．在直角三角形BDC中，BD为4，BC为5，所以CD为3．(2)设AD为x，则AB等于AD加上CD，即x加3．在直角三角形ABD中，AB的平方等于AD的平方加上BD的平方，所以有方程(x加3)的平方等于x的平方加4的平方，解得x为根号13，因此AB等于根号13加3．
