斐波那契数列毕业论文斐波那契数列的应用本科论文
斐波那契数列自问世以来,一直展现出它在数学理论和应用上的重要作用,具有非常重要的意义,并且不断得到证明。此外，斐波那契数列在诸多学科领域发挥着实际效用，例如物理学、准晶体结构、生物学、交通工程以及化学等。这个数列不仅完美展现了数学之美，还与众多数学原理紧密关联，许多原本看似孤立的数学原理，借助斐波那契数列，人们得以揭示它们之间的内在联系，进而激发了进一步探索数学的欲望，使人们对数学的理解更加条理化。因此对斐波那契数列的探究意义重大，它不仅能为众多领域提供有力支持，也能深刻影响日常起居，其发展潜力极为广阔。斐波那契数列自诞生以来，始终在数学理论和实践领域扮演着关键角色，其影响力持续扩大，备受瞩目。该数列的斜率满足租赁系列在当代物理、准晶体结构、生物、交通以及化学等多个领域都有直接的应用价值。这一数列完美地体现了数学之美，并且与众多数学概念紧密相连，许多看似独立的概念，通过斐波那契波浪租赁系列，人们发现其中蕴含着数学的关联。这一发现进一步激发了人们对数学探索的兴趣，推动了数学认知体系的系统性发展。研究斐波那契数列是一项极其重要的课题，它不仅能为所有学科带来实用价值，还将对我们未来的生活和前景产生深远影响，其潜在价值难以估量。关键词：斐波那契数列黄金分割斐波那契数列在生活中的应用目录第一章斐波那契数列11.1斐波那契11.2斐波那契数列的引入兔子问题11.3斐波那契数列通项公式的假设干推导31.4斐波那契数列性质及其简单证明81.5人体中与斐波那契数列有关的知识9第二章斐波那契数列与黄金分割112.1何为黄金分割与黄金分割数112.2二者之间的联系122.3黄金分割律在股市中的运用12第三章斐波那契数列在生活中应用143.1斐波那契数列在几何上的应用143.2斐波那契数列在城市交通道路规划上的应用143.3斐波那契数列在生物学上的应用15第四章小结17参考文献：18辞19-.z.第一章斐波那契数列这一章主要介绍的是斐波那契数列的创造者，产生的背景，人们对他的一些认识和研究，以及它的一些主要性质。列昂纳多·斐波那契是一位意大利数学家，他生活在1170年至1240年间，发明了著名的斐波那契数列。这位学者出生于比萨，所以人们常称他为"比萨的列昂纳多"。在1202年，他完成了一部名为《珠算原理》的著作。历史文献表明，他是欧洲最早钻研印度与阿拉伯数学知识的学者，其父任职于比萨城某商业机构，担任外交使节，被派往相当于现今阿尔及利亚的属地，这使得斐波那契得以跟随一位阿拉伯导师学习数学，他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里以及普罗旺斯地区研习数学。兔子生长过程有个例子要说明，一对刚出生的小兔要满一个月才能成年，等它们成年后，每个月就会繁殖出另一对小兔，从一对小兔开始算起，一年后能繁殖出多少对兔子来，前提是所有兔子都能健康存活，不会中途死亡，而且兔子在出生两个月后就有生育能力，一对成年兔子每月都能生下一对小兔子假如全部兔子都存活，那么一对新生的小兔子在一年后能繁衍出多少对兔子，如图一所示，展示了兔子的繁衍模式，其中黑点代表一对幼兔，红点代表一对成年兔，黑线则表示幼兔成长为成年兔或成年兔产下幼兔的情况，如图1所示：从第一个月到第十二个月，兔子的对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，等等，这个数列被称为斐波那契数列，该数列从第三项起，每一项的数值都等于前两项数值的总和。因此，这个数列的规则是：若每一项都等于前两项之和，那么就称它为斐波那契〔Fibonacci〕数列，这一点相当引人注目：一个完全由自然数构成的序列，其通项公式却竟然涉及无理数。这个通项公式是：这个数列还因为数学家列昂纳多·斐波那契用兔子繁衍来解释而得名，所以也叫做"兔子数列〞。或者，斐波那契数列还可以借助一个生活中的有趣情形来阐释：攀登楼梯的情境。这个情形是这样描述的：情形：*一个人能够一次跨过一个台阶，也能够一次跨过两个台阶，那么他到达n个台阶的方法有多少种？答案：设想这个人到达n个台阶的方法有特定数量。若初始迈出一步跨了一级，那么到达n级台阶的方法数是某个值；若起始踏出一步跨越两级，那么抵达n级台阶的方法数是另一个值，由此可以推导出关系式，这其实是一个去掉了第一项的斐波那契数列，所以1.3斐波那契数列通项公式的假设有多种推演路径，推演方法1首先求解符合递推规律的等比数列，其中包含特定参数。那么，根据公式可以求解，得出满足条件的等比数列存在两个公比，假如等比数列符合要求，那么公比必然为1，也就是不同于其他数值，所以无法满足条件。然而，倘若把符合条件〔1〕的两个等比序列进行逐项叠加，便会得到数列==〔2〕，该数列依然符合条件〔1〕，倘若合理挑选a，b，使得即〔3〕，那么就符合斐波那契数列所需满足的所有要求kaiyun全站app登录入口，可以明确，满足条件的斐波那契数列只有一个，所以符合条件〔3〕的a，b所确定的数列〔2〕正是我们寻求的斐波那契数列。因为,因此可以视条件〔3〕为含有a，b的二元线性方程组,求解得a等于,b等于,由此可知,又因为,所以,由此得出,获得斐波那契数列通项公式的第一种方法的核心在于：符合条件〔1〕的两个等比数列,其依然满足条件〔1〕但通常不再构成等比数列,需要恰当选取的前两个项均取值为1。推导方法二采用初等代数技巧，首先建立等比数列模型，经过化简处理，与公式一进行系数匹配分析，可以得出以下结论：暂且设未知量kaiyun全站登录网页入口，由此求解出，因而形成等比数列结构。根据前述分析，推导出等比数列通项，经过形式转换，得到表达式。定义辅助变量，进一步求解，最终确定，表明该序列符合等比数列特征，即呈现为。同时，已知，由此进一步验证，结合前述结果，最终得出完整表达式。至此，成功构建了斐波那契数列的通项公式。众所周知斐波那契数列的特点在于从第三项起，每一项都等于前两项之和，这就是它需要符合公式〔1〕的要求，而公式〔1〕属于线性递归数列，此类数列存在通用的表达式，即公式〔4〕经过变形后得到，再进一步化简为，由此可以得出结论，1.4斐波那契数列的属性及其基本验证属性1属性2属性3属性4属性5属性6这里，n的取值都从0开始。性质一论证：以数学归纳方式展开，当项数为一时，左侧值等于一，右侧值亦为一，故两侧相等，表明项数为一时等式成立，运用假设法，若项数为k时等式成立，则推论出项数为k加一时，等式依然成立，归纳上述两点，对所有正整数项均适用，证明完毕，其他性质均能借助数学归纳法进行类似验证，此处不再详细说明。除此之外，斐波那契数列还存在诸多显著特点，其中多数均不易验证。相邻两项的绝对差值恒为1，且该差值在数列中交替呈现正负。任意两个紧邻项的平方和具有特定关系。针对任意四个连续项，均满足某个特定公式。该数列各项末尾一位数字形成的序列，周期为60重复出现。末尾两位数字构成的序列，周期则为300重复出现。最右三位数，每1500次会重复一遍，最右五位数字，每150000次会重复一遍，并且，对于所有更多的位数，也有对应的重复周期。每第三个数可以被2整除，每第四个数可以被3整除，每第五个数可以被5整除，每第六个数可以被8整除，等等。这些除数又组成了斐波那契数列，相邻的斐波那契数列中，除了1以外，没有其他公因数。其余素数的序数均为素数，比如233的序数13是素数。序数为合数的数必定是合数。不过，这个关系并非双向成立，序数为素数不代表该数也是素数。首个反例是，序数是素数，但4181等于37乘以113，不是素数。人体构造中蕴含着与斐波那契数列的关联，身体的诸多比例关系隐约契合该数列，这从不同角度印证了斐波那契数列的非凡之处。经过长时间的数据收集与分析，人们察觉到了一个颇为引人注意的规律。人体各部位的比例，有许多都接近黄金分割率或其倒数。
腰以下长度/身高=0.618
腰以上长度/腰以下长度=0.618
颈至腰长度/腰以上长度=0.618
颈以上长度/颈至腰长度=0.618
身高/腰以下长度=1.618
腰以下长度/腰以上长度=1.618
腰以上长度/颈至腰长度=1.618
颈至要腰长度/颈以上长度=1.618
身高/腰以上长度=2.618
下半身尺寸与上半身尺寸之比等于2.618，你对自己的上肢有多熟悉，头部尺寸与手肘尺寸之比等于0.618
小臂长度/腰以上长度=0.618
小臂长度/颈以上长度=1.618
腰以上长度/小臂长度=1.618
下半身高度与手臂长度之比等于2.618，第二章涉及斐波那契数列和黄金分割，2.1部分阐述黄金分割与黄金分割数的概念，早在古希腊时期，人们就发现了0.618的奇妙之处，并将其称作黄金分割比。因为这个数值的奇特特性与特殊喜好，它被大量运用在建筑和绘画等众多领域之中，从古希腊的巴台农神庙到美国纽约的众议院大楼，就连基督十字架的分割比例也由它来决定，黄金分割率已经成为西方人追求外表美的内在依据。此外，人们也慢慢发现这种比例关系广泛存在于自然界之中，几乎随处可见。花朵纹样、棕榈叶形，乃至人体肚脐的划分，都蕴含着黄金分割的原理。接下来我们探讨它的具体含义：通常情况下，取线段AB，若点C位于AB上，使得较长部分AB与较短部分BC的比值，恰好等于整体AB与较长部分AB的比值。〔参见图2〕若满足A等于AB乘以BC，则称点C为线段AB的内分点，实现了中外比分割。现在我们深入分析这个内分点的特性。图2存在，求解，舍弃负值，得到，这就是黄金分割比，而斐波那契数列前一项与后一项之比的极限，这个就是黄金分割数，2.2二者之间的关联，斐波那契数列在黄金分割被应用了很长时间，1202年斐波那契出版了一本名为《关于算盘的书》，书中，他通过一个基础的数学问题阐述了斐波那契数列的原理。这个议题就是先前讨论过的那个关于兔子的问题，其探讨过程并不繁难，同时我们还能归纳出一个模式，具体表现为每个月末的兔子总数会呈现这样的序列：1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、……，该序列的规律在于任何两个连续数值相加便得出紧随其后的数值，这便是著名的斐波那契序列。数列里两个挨着的数，第一个数除以第二个数，得到的极限值就是黄金分割率，也就是0.618。黄金分割律在股市里有实际用途，黄金分割是种古老的方法，它的吸引力很强，用途也非常多，很多特性现在还没有明确的解释，只是在一些偶然的应用中显示出关键作用。在此，我们阐述获取黄金分割线的具体方法，并以此为基础，为后续的股票交易提供买卖依据。
首先，需要了解黄金分割点的关键数值，分别是0.191、0.382、0.618和0.809，这些数值需要牢记在心。
1.1911.3821.6181.809
2.1912.3822.6182.809
这四个数值，即0.382、0.618、1.382和1.618，具有特别的意义，股价常常在这些由它们计算得出的黄金分割点位上遭遇支撑或面临阻力。
接下来要确定一个关键位置，这个位置是价格由涨转跌时的顶部，或者是价格由跌转涨时的底部。这些顶部和底部都局限于某个特定区间，属于局部现象。只要能够判断出当前的价格走势（无论是上涨还是下跌）已经结束或暂时告一段落，那么这个走势转变的节点就可以当作计算黄金分割比的参考点。这个点一经选定，我们就可以画出黄金分割线了。
行情由涨转跌之际，我们非常关注这次下跌会在何处遇到支撑，黄金分割给出了若干参考价位，这些价位是将本次上涨的峰值分别与前面提到的几个特定数值相乘后得出的，假如这次上涨的顶点为10元
8.09=10×0.809
6.18=10×0.618
3.82=10×0.382
1.91=10×0.191
这些数值极有可能构成支撑位，6.18和3.82的可能性最为突出。
同样地，当市场从下跌转为上升的初期阶段，我们关注反弹到何处会遭遇阻力。黄金分割比率给出的点位，是这次回调的低点价格乘以某个特定的数值。比如，如果这次回调的最低点价格是10元，那么
11.91=10×1.19121.91=10×2.191
13.82=10×1.38223.82=10×2.382
16.18=10×1.61826.18=10×2.618
18.09=10×1.80928.09=10×2.809
20=10×2
未来或许会构成支撑位，13.82元、16.18元和20元这几个价位极有可能形成支撑线，而20元以上的那些点位基本无人问津。
另外也存在一种运用黄金分割比例的方法。挑选局部中的顶部与底部位置，将这个范围当作整体长度，然后在这个基础上绘制黄金分割比例线，据此可以推算出反弹的幅度和波动的距离。第三章斐波那契数列在现实中的体现3.1斐波那契数列在几何方面的体现斐波那契数列在几何方面的体现我们可以借助2001年第十六届江苏省初中数学竞赛B卷里的一个题目来阐释：例：现有总长为144cm的铁丝，需要分割成n段（n大于2），并且每一段的长度都不少于1cm若任意三段均无法组成三角形，则n的最大数值为多少呢？解析：依据三角形三边相加的定理，必须满足两边之和超过第三边，才能构成三角形。因此，无法构成三角形的条件是任意两段之和要么小于要么等于第三段。考虑到每段长度不得低于最小公倍数，按照题意，可以先截取两根最小公倍数长度的铁丝。为了防止构成三角形，因此第三段截取2厘米，为了确保最长，必须让剩余铁丝尽量长，后续每段长度都是前两段长度之和。按照这个规律，接着取出的长度分别是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，这些数值是斐波那契数列的前十项，它们的总和是143，同144的差距为1，所以最终那一段可以截取56厘米，此时总共达到了十个数。题目里有个条件"每段长度不低于最小公倍数"，这个条件很关键，它促成了斐波那契数列的出现，也把三角形三边关系定理和斐波那契数列联系在了一起。对国内主要城市道路进行深入分析，发现其内部道路与外部道路的长度比例，往往接近于0．618033988这个数值，或者接近其倒数1．618033988这个数值，这揭示了中国道路在设计上的一种普遍模式。根据距离比例，中国环路可划分为A、B、C三类式样，例如参照下图中的a、b、c所示：A式样规范比例是；B式样规范比例是；C式样在竖（横）方向上的规范比例是，在横（竖）方向上的规范比例是。众多案例表明，中国的道路设计基本上遵循这一准则。这一法则涵盖各类大小不一、属性多样及构造形态各异的都市环形道路应用该法则有助于对中国城市环形道路的发展规划提出建议并对其合理性进行评估。图3城市交通道路模拟图3.3斐波那契数列在生物学上的应用这种数列也能用于生物学领域．比如，树木的生长，新生枝条需要一段恢复期，补充自身因新枝生长的消耗，等补充完消耗才能再次生长新枝．因此，树苗每隔一段时间，比如一年，就会长出一条新枝；第二年新枝进入恢复期，老枝继续生长；后来，老枝和恢复了一年的枝条同时生长，当年新生的枝条则次年进入恢复期．这样，一棵树每年生长的枝条数量，就组成了斐波那契数列(见图4)．这个规律，是生物学中知名的"鲁德维格定律〞。鲁德维格定律揭示，众多植物的花瓣数量多为斐波那契数，比如兰花、茉莉花、百合花拥有三片花瓣，毛茛属植物有五片，翠雀属植物有八片，万寿菊属植物有十三片，紫菀属植物有二十一片，雏菊属植物则有三十四片、五十五片或八十九片。此外，向日葵花盘和松果的种子布局遵循对数螺线，存在两组旋转方向相反的对数螺线，这两组螺线的数量通常为连续的斐波那契数。这些植物是否理解斐波那契数列？答案显然是否定的，它们只是依据自然法则演化至此。许多植物的叶片从主干附近生长，为在生长过程中持续高效利用空间（考虑到叶片是逐步生长而非同时出现），每片叶子的生长角度需适宜。种子的生长模式亦然，这仿佛是植物排列种子的"优化方案"，它能确保所有种子大小相近且分布得当，避免圆心处种子堆积而圆周处过于稀疏。第四章总结斐波那契数列起源于十三世纪，其历史悠久且魅力非凡，吸引人们持续研究至今。本论文阐述了斐波那契数列的起源，论证了其重要性质，探讨了与黄金分割率的关系，并说明了该数列在多领域的应用。斐波那契的贡献在西方数学复兴史上具有无可替代的地位。法国大革命期间的政治人物兼军事将领G·卡尔诺(Cardano)曾提及斐波那契的贡献，他这样讲道：我们能够相信，所有我们已知的非希腊数学知识，都是因为斐波那契而得以留存。斐波那契对古代数学提出了全新的见解，并且独立地使其发展。他在数学领域展现了卓越的计算能力，同时将矢量和零纳入数学范畴；在几何学领域，他既遵循欧几里德的精确逻辑，又善于运用代数手段处理几何难题。斐波那契的研究成果对后世产生了深远影响，其贡献可谓广泛而持久。参考书目：斐波那契的著作，由西格尔翻译成英文，纪志刚等人翻译成中文，由科学出版社在2007年出版，书名为《计算之书》。克莱的著作，由张理京等人翻译成中文，由上海科学技术出版社在1972年出版，书名为《古今数学思想（第一册）》。李文林的文章，探讨算法、演绎倾向与数学史分期，发表在《自然辩证法通讯》1986年第2期，页码为46至50。欧阳绛的书籍，名为《数学方法溯源》，由大连理工大学出版社出版。杨传富，一类数列通项公式的矩阵解法,学术文章,高等数学研究2007年第3期昊文俊．关于探究中国数学的历史与现状——《东方数学典籍(九章算术)及其刘徽注研究》引言．自然辩证法通讯，1990年第12卷第1期：37—39．昊文俊．世界知名数学家传记．：科学出版社，1995张维忠．数学教学与数学探索．：浙江大学出版社．2008．8吕荣海等人．奥普尔液肥在萝卜种植中的效果．福建农业科技，1999年第2期：15．徐善伟、东方文化西传与西方文明的再兴．；上海人民出版社，2002．在校的这四年期间，非常感激老师们对我的悉心指导，是你们教导我们努力钻研，诚实为人，认真做事，用包容的态度对待生活。同样地，十分感激王涛教授在大学最后的学习阶段，特别是在毕业设计期间给予的悉心指导，从最初确定选题，到资料搜集，再到写作与修改，直至论文最终定稿，他始终给予我耐心的引导和无私的援助。倘若没有他的付出，论文恐怕会呈现出多么糟糕的景象。我感到非常荣幸能够拥有这样一位导师，他确实值得我表达谢意并致以崇高的敬意。时间的推移或许是自然的，然而速度的感受却是因人而异的。当摆脱了考研失利的阴影，结束了求职的奔波开元棋官方正版下载，也完成了毕业论文的最后一项任务，长长地舒了一口气之后，我猛然惊觉，四年的大学时光已经悄然溜走，离别的时刻已然来临，心中不禁有些恍惚。不过回望这四年的学习历程，既有成功的喜悦，也有失意的苦涩，更有难以言说的悲伤。许多都将化作我脑海中最动人最宝贵的片段······感谢数学与应用数学专业08级〔2〕班，和你们同度的四年大学岁月，是我生命中最难忘的时光，你们让我懂得了如何珍视同窗情谊！感谢数学系各位老师，你们的悉心指导，让我收获了立足社会的资本。感谢所有关心、鼓励、支持我的家人、亲戚和朋友。
