云手机网页版 从“猜度术”到大数定律——数学巨匠雅各布·伯努利的智慧人生

于17世纪的欧洲，科学跟理性正暗暗地排除神学与迷信，拉开人类认知的全新纪元。在这场了不起的思想变革当中，瑞士出现了一位有着深远影响的数学家，即雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli,1654–1705）。他不单纯是微积分发展的关键促使者，更是概率论的奠基者之一。他的名字现今铭刻在数不清的数学定理之上，比如：伯努利试验、伯努利数、伯努利大数定律等……这些术语幕后，是一位一生都在追寻逻辑之美以及自然规律的聪慧之人身影。

今日，身为一名一直钻研科学史以及数学人物的思想领域博主，我打算引领诸位民众迈入这位沉默寡言却无比杰出的数学大师的整个人生历程，探究他究竟是凭借一股怎样的个人力量，为当代统计学、概率论乃至全套自然科学的进步奠定牢固基础的。

于巴塞尔，心向数学：命运的起点

1654年12月27日，雅各布·伯努利诞生在瑞士巴塞尔的一个药商家庭之中，依照家族传统，他原本应该去继承父业，去学习神学或者医学，他早年的确是在巴塞尔大学攻读哲学与神学，在1676年的时候获得了神学硕士学位，可是，他对于数学和天文学的热情要远远超过宗教事务 。

在那个时期，数学还没有成为一门能够独立存在的学科，常常被看作是哲学或者物理学的辅助工具用来使用。可是雅各布不一样，他依靠自己自学掌握了笛卡尔所提出的解析几何，获取了牛顿与莱布尼茨刚刚崭露头角时的有关于微积分的思想。特别是在接触到莱布尼茨发表出来的微分学论文之后，他很快就变成了欧洲最早理解并且去推广这一崭新数学体系的学者当中的一员，。

1687年，雅各布年仅33岁，他被任命为巴塞尔大学的数学教授，自此开启了长达将近二十年的教学以及研究生涯。也就是在这儿，他培养出了一批杰出的学生，里头包含他的弟弟约翰·伯努利，约翰·伯努利后来同样成为一代数学大师。虽说兄弟二人因为学术竞争关系紧张，甚至还公开争吵，可这恰恰反过来反映了伯努利家族对数学近乎偏执的热爱。

二、“积分”一词的创造者：微积分领域的先驱

每当提及雅各布·伯努利，不少人最先浮现脑海的是概率论，然而实际上他在微积分发展历程里也是不能忽略的人物。

他是最早使用“integral”（积分）这一术语的人中的一个，这个词来源于拉丁语“integer”，其含义为“完整的”。雅各布用它去描述求面积、体积等累积量的过程，进而与“微分”构成对立统一的概念。他在1690年代跟弟弟约翰以及莱布尼茨频繁地通信，一起探讨曲线切线、极值问题以及变分法雏形。

有意思的是，雅各布属于极坐标系较早期的使用者之一 ，他凭借极坐标去研究螺旋线 。特别是对数螺线 ，他对其美学和数学特性极为着迷 。他曾请求在自己墓碑上刻一条对数螺线 ，而且附上“Eadem mutata resurgo” ，这代表灵魂不灭 。遗憾的是石匠技艺不太好 ，最终刻成的是阿基米德螺线 ，成为一则令人感叹不已的数学趣闻 。

除此之外，他还将著名的悬链线问题给解决了，该问题指的是一根均匀链条在受到重力作用时自然下垂而形成的曲线，这个问题曾经被伽利略错误地认为是抛物线，直到雅各布运用微积分方法进行严格推导，证明它的方程是：

y =a \cosh\left(\frac{x}{a}

ight)

这项工作，不但展现出了微积分那强大的应用能力，而且还标志着分析力学的萌芽 。

他对那被称作等时曲线（tautochrone curve）的进行了研究，此曲线是指，不管物体是从哪里被释放出来的，滑落抵达最低点所要用的时间都是一样的那种曲线。这么一个发现，后来在钟摆设计当中有着极为关键的作用，且还为拉格朗日还有欧拉去发展变分法给予了灵感。。

三、《猜度术》：概率论的开山之作

就假设而言，微积分使得雅各布进入到一流数学家的行列之中，那么呢他留下来的著作《猜度术》（Ars Conjectandi，其拉丁文的意思是“The Art of Conjecturing”），实际上是确立了他身为概率论之父的那种历史地位 。

这部著作直至他离世之后长达八年的时间，也就是在1713年的时候，才得以正式出版发行。它凝聚了其一生之中，针对随机性、期望值以及统计规律所进行的思索。全书总共划分成为四个部分，它们层层深入地推进，从而构建起了一个具备系统性的概率理论框架。

第一部分：组合数学的基础

雅各布系统整理了帕斯卡与费马关于赌博问题的研究成果，并进

他使排列组合理论得到了进一步发展，他引入了如今我们所熟悉的二项式系数表达方式，他还首次定义了后来以他的名字命名的“伯努利数”，这是一组在数论里、级数展开中以及欧拉 - 麦克劳林公式中极为重要的有理数序列。

第二部分：概率的基本原理

他清晰地给出了概率的古典定义，这个定义是事件的概率等同于有利情况数跟所有可能情况数的比值。尽管此定义适用于有限等可能的情形，可在当时那已然是极为重大的理论突破了。

更为关键的一点是，他发起对频率跟概率二者间关系的思索凭借着诸多的相关实验观察他察觉到伴随试验次数的不断递增某一事件发生之时的频率会趋向于稳定进而靠近某个固定的数值而这便是我们现今所讲的 “概率的频率解释” 。

第三部分：伯努利试验与大数定律

这属于整本书最为辉煌的那一部分，雅各布提出了被称作“伯努利试验”的模型，每次试验存在两种结果，其结果为成功或者失败，并且各次试验相互之间是独立的，成功概率保持恒定。

立足于这个基础之上，他证实了在历史范畴内第一个极具严谨性的大数定律，也就是所谓的“弱大数定律”，后者的核心思想能够简略成以下这般：

独立重复试验次数趋向于无穷之际，事件出现的频率按照概率收敛于其实际概率。

简单来讲，就算你并不清楚一枚硬币究竟是不是公平的情形下，只要你持续不断地去抛掷它，那么正面出现的比例最终将会稳定在一个数值的附近，而这样的一个数值便是真实的正面概率了。

这一定律看上去好像简单，然而实际上却颇为深刻，它给统计推断提供了理论方面的基础，进而让人们能够借助样本数据去估计总体参数，现代社会里的民意调查，质量控制，保险精算，金融建模等等无一不是构建在这一思想之上。

耐人寻味的是，那雅各布本人宣称这一定理称作“黄金定理”（Theorema Aureum），这足以表明他对其重视的程度。为了去证明它，他展开了繁杂的不等式估算以及极限分析，在并没有现代测度论工具的情形下得以完成这般严密的论证，真可以称得上是奇迹。

四、思想遗产：照亮未来的灯塔

雅各布·伯努利的生命在1705年停止，他去世时享年50岁，并且他还不曾见到《猜度术》出版，同时也没能目睹自己的思想对未来世界的塑造情形，然而他所留下的精神财富，早就已经超越那个时代了。

- “伯努利分布” 成为统计学中最基本的概率模型；

不是泊松过程、马尔可夫链等随机过程的起点，不是“伯努利过程” 。

大数定律跟切比雪夫后续的工作一道起，又和辛钦等人后续的工作一块，共同构成了现代概率论的三大支柱当中的一个；。

他于微积分里所做出的贡献，直接对欧拉、拉格朗日等众人的研究方向产生了影响，。

而他执着探索自然现象里的数学规律，这体现了启蒙时代科学家的崇高理想，就是“用理性揭示宇宙秩序”。

更加值得令人敬佩的是，雅各布自始至终都维持着谦逊以及开放的这样的态度，他曾经发表言论称，“我懂得了从为数不多的事实当中去推测普遍适用的规律，而并非毫无思考地相信权威”，这样一种基于实证以及逻辑的思维方式，恰恰就是现代科学精神的核心所在。

五、结语：数字背后的哲思

当我们现今轻易地讲出“抛一万次硬币，正面大致占一半”之时，鲜少有人记起这话背后立着一位十七世纪的瑞士学者，耗费了十几年光阴去严谨证明它的合理性 。

雅各布·伯努利的伟大之处kia云手机版登录，不在于发明了若干公式，不在于解决了诸多难题，而在于他首次系统地告知人类，不确定性并非处于混沌无序的状态，而是能够被进行量化，能够被予以预测，能够被加以掌控的。

置身于大数据肆意横行、人工智能悄然崛起的当下时代开·云体育app下载安装，我们每日里都反复处理着海量的信息，持续进行着风险的评估，时常做出不同的决策 。然而这所有一切的背后，都无不流淌着雅各布·伯努利的思想血脉 。

他告诉我们：

就算世界充斥着偶然，只要持续坚持观察，不断积累数据，始终尊重规律kiayun手机版登录，那我们便存在着可能拨开迷雾，进而窥见真理那般的一角 。

就如同他墓碑之上没能完美展现出来的那一条对数螺线，虽然历经了变形，但若追根溯源终究还是会回归到原初的本质上来。

如今，在三百多年后的当下，雅各布·伯努利彰显的精神，仍旧持续旋转，毫无止息之意，对每一个寻觅确定性的灵魂予以启迪 。

【博主结语】

奔流不息的是历史长河，诸多名字已被遗忘了，然而真正的思想始终闪光着。 倘若你也曾被一道数学题所折磨，又或者在生活间遇到不确定的抉择时，那就请记住： 三百年以前呀， 有一位称作雅各布的人呢 已然在用笔跟纸 去为你写下答案的有着可能性的值了 。