畅销20万册的“数学与生活”系列又添新作，讲透数学的历史、现代与方法！

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教育需要完成的一项工作，就是让学生学会从各种方法里挑选出最适合思考的那个方法。这种适合思考，并不仅仅意味着对孩子来说容易操作，关键在于，孩子将来也能自行运用同样的思维方式。换句话说，作为教育者的成年人，应该去寻找具有成长性的思维模式来传授，这是教育中的一项核心职责。

这套《数学与生活》源自日本数学教育革新，意图揭示被应试教育遮蔽的数学本质，向读者展现数学的本来面貌，驱散因应试训练而产生的数学焦虑。该书面世后广受读者欢迎，销量累计达20万册，同时荣获科普作家及得到APP讲师卓克的高度赞扬。

终于，在众多读者热切盼望下，《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》出版了！这本书虽然讲述数学史，却不同于传统数学史著作，作者独具匠心地将数学分为古代、中世纪、近代和现代四个阶段，用生动的方式展现了数学发展历程，同时联系生活实际，阐释了许多数学概念和思想的起源及演变。

这本书还浅显地介绍了当代数学的关键思想和技巧，促使读者对数学形成更透彻的认识。

下文节选自书中【近代数学】

来源 | 《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》

作者 | 远山启

译者 | 武晓宇

01

笛卡儿与《谈谈方法》

数学界首位倡导全新思维范式的是笛卡儿（1596 —1650）。这种革新并非由单一个人独立促成。

在笛卡儿问世以前，众多学者已经为此项革新奠定了根基，而后笛卡儿将此方法阐释得周密详尽，由此催生了崭新的数学探究路径。

笛卡儿的数学理论书籍叫做《几何学》，它的法语书名叫 La Géométrie。那是在 17 世纪初的时候，这本《几何学》实际上是笛卡儿为了他的著作《谈谈正确引导理性在各门科学上寻找真理的方法》所写的补充部分，这本书也简称为《谈谈方法》。《谈谈方法》是一本非常有名的书，虽然篇幅不长，但在学术发展史上却有着非常重要的地位。

在哲学史中，这本著作也是近代哲学的开山之作。

《谈谈方法》里讲的“方法”，是指做学问的途径。那个时代的哲学和现在说的哲学不一样，它的研究范围包罗自然科学、数学等很多领域，也就是探求普遍性的门道。

当今的思辨学问和现实中的探索已经相距甚远，貌似都在探究普通人难以理解的内容。过去的思辨学问则和探索有着紧密的关联，笛卡儿的思辨学问也不例外。

笛卡儿堪称近代哲学的奠基人，同时也是顶尖的数学家，但在当今的哲学界，兼具科学家身份的哲学家却极为罕见，对于我们这些从事科学研究的人来说，笛卡儿的哲学思想十分容易领会。

笛卡儿在《谈谈方法》中列出了四条关于研究方法的原则。

首要准则在于，当今世间存在大量书籍，其中不乏被众人奉为杰作的作品，然而本人对此等事物皆抱有质疑之心。这些文献或许并非真实存在。必须首先对其产生疑问。

后来，笛卡儿还这样表述过：所有我未能确凿证实为正确的论断，都不会当作真理来采纳。换言之，必须谨慎防止草率认定和固有观念，唯有那些完全显现在我的思维里，且不容许丝毫怀疑的内容，我才允许自己的判断仅包含这些要素。

也就是说，只认可自己内心认定确实的事情。概括而言，这项准则就是“起初对什么都打个问号”。

第二条原则要求，针对每一个待探究的课题kaiyun全站app登录入口，在适宜的范围内尽量将其分解成多个细小单元，以便更有效地处理它们。通过适当地拆分棘手的议题，再逐一攻克，最终能够化解难题。

简单来说，这条原则就是“分析”。

第三条原则是“综合”，它对立于“分析”，意思是“从最基础、最易理解的事物入手，再逐级，分步骤地认识那些更为复杂的对象，对于原本没有先后关联的事物，我也将其设定为有次序，以此构建我思维的脉络，帮助我理清思路”。

概括来说，针对划分出的各个细部，通过恰当手段加以规范，再将它们彼此组合，此即为“整合”之途径。

第四条原则要求，必须彻底审视所有情形，同时反复进行周密核实，务求确认没有疏漏之处。借助这种方式，可以查验自身行为有无缺失。

笛卡儿阐述的这四点，表面上看都合乎情理。要是这么认为，那么其实所有真谛也显得显而易见，并不复杂。然而，寻常人却不容易意识到这些道理。

确实，这些情况听起来仿佛是自然规律，但若非笛卡儿清晰地阐述，这些所谓“自然规律”其实一直含糊不清，不易为我们所察觉。

这类现象渗透在每个人的日常生活中，却鲜少有人能够清晰地察觉到，唯有像笛卡儿这样的卓越思想家才首次将其揭示出来。尽管此类认知看似微不足道，但在被研究者阐明之前，世人普遍对其存在毫无知觉。笛卡儿将他的探究方式引入数学领域，由此孕育出了著名的笛卡儿几何学。

02

坐标与分析·综合

笛卡儿构想出了坐标，这彻底改变了几何学中的思考方法。

从这方面看，笛卡儿的几何学与欧几里得的几何学截然不同。笛卡儿借助坐标，欧几里得则没有，这是非常显著的差别。笛卡儿在建立自己的全新几何学时，几乎未参考欧几里得的内容。

笛卡儿只采用了两个原理，就是关于相似三角形的定理，说明相似三角形的对应角相等，对应边长度相等，还有关于直角三角形三边关系的定理。其他方面，笛卡儿创立的几何学完全不涉及欧几里得几何学的任何内容。

确实，在解析几何学领域，运用坐标来研究直线等几何图形，必然要运用到相似三角形的相关定理，如果缺少相似三角形的性质定理，那么就无从证明“直线能够通过一次方程来描述”，因此这一定理是不可或缺的。

缺少这个定理，就无法测量两个位置间的间隔，因此它也是不可或缺的。只是因为运用了这两个定理，可以说，解析几何学与欧几里得几何学在本质上存在差异。尽管两者部分结果一致，但它们的途径完全不同。

前面提到过，笛卡儿的“解析”思路是将事物尽可能分解成细小的单元进行探讨，这种思路也被应用于解析几何学领域。

解析几何学领域里，平面上的位置由两个数值构成，分别代表东西方向和南北方向，这就是对位置进行水平垂直划分的过程。一个二维的平面，能够通过两条属于一维的线进行划分。这种方法正是分析学派的典型应用。

笛卡儿的几何学通常被称为解析几何学，不过解析这个词在英语中对应的是 analysis，一般译作“分析”，因此我认为，把笛卡儿的几何学称作分析几何学可能更为恰当。

解析几何学以“点的位置”作为其基础，图形中最基本的部分是点，因此需要从“如何确定点的位置”这个角度展开。这门学科首先将点的位置分为横向和纵向两个维度，接着用数字来标示横向和纵向，也就是用数字来代表横坐标和纵坐标。这样一来，点的位置就变成了由两个数字构成的一个整体。

这种方法使几何与数字领域产生关联，使得通过计算探究图形特征得以实现。欧几里得几何完全不涉及计算，在此框架下几何仅代表几何。然而，在笛卡儿的体系中，图形借助计算这一强大工具也能展开研究。

笛卡儿在别的著作里提到过，他进行工作的目的，是为了做到用代数手段探究几何问题。几何学现象很形象，容易看见，不过难以展开深入细致的探讨。

相对而言，代数虽然不那么直白易懂，不过能够借助计算这种精确方法。换句话说，笛卡儿将代数和几何各自的优势融合，促使二者相互结合。让原本没有关联的两种学科产生联系，这确实是笛卡儿的重要贡献，也是现代数学发展的起点。

03

变化与运动

解析几何学的一个关键特性在于，通过坐标的应用，这个体系可以极为精确地反映物体动态及其演变过程。比如，物体的演变轨迹能够借助图形形象地展示kaiyun官方网站登录入口，而这一点在欧几里得几何学中是无法做到的。换言之，在笛卡儿创立几何学之前，人们无法对运动和变化进行科学的理解与描述。

因此物理学中那个时期的力学知识，主要关注的是固定不动的物体，面对活动的物体就束手无策了。这种力学可以称作静态力学，它无法掌握物体活动的基本规律。

然而，笛卡儿的几何学开创了这一途径，这彰显了近代数学的强大作用力，它让数学从静态状态转变为动态形态，这种转变在科学界产生了深远影响，成为一场革命性的变革，其意义超越了数学本身，在所有科学分支中都具有里程碑式的意义，数学是如何促成科学发生如此深刻的变化呢，关键在于近代数学为牛顿力学的创立提供了坚实的理论基础和强大的推动力

04

从地心说到日心说

在人类认识世界的历史中，日心说的出现可谓一个重大事件。

古人只局限于地球这有限范围内进行思索，由此形成了“地球静止而太阳转动”的观念，这就是地心说。这种想法源于人们的直接感受，十分合乎情理。由于谁也无法凭感觉察觉到地面在移动，我们所能清晰感知的，仅仅是太阳在变化位置。

相比之下，我们日常用语里也有“岿然不动”之类的表述，这表明在人们观念里，山是固定不动的。然而，山体同样以令人难以置信的速度在变化。地球上的山川、大地等所有事物都在持续活动，这种事实对于人类认知来说，冲击力相当大。因此，地心说的提出，是人类探索世界过程中的关键性时刻。

我们在求学阶段就学习了太阳中心说的内容，因此不会觉得奇怪，不过这种观点在中世纪是颠覆性的认知，完全推翻了当时人们的认知体系，正因如此，提出日心说的哥白尼（1473 —1543）非常担心自己会遭到世人的排斥，他在临终前特意嘱咐，希望自己的太阳中心说著作在他离世之后才得以面世，这样就能避免受到死刑的惩罚。哥白尼去世之后，倡导太阳中心说的乔尔丹诺·布鲁诺（1548 —1600）遭到教会势力残酷杀害，最终被处以火刑。

日心理论不只是天文学领域的观点，它彻底改变了中世纪大众的认知体系。在此之前，人类从未遭遇过如此不合常理的震动。这种思想上的突破，自然而然地动摇了基督教的统治地位。

05

伽利略与日心说

布鲁诺牺牲之后，伽利略，这位出生于1564年去世于1642年的学者，借助严谨的推理方法，进一步阐述了地动说的观点，其成果体现在著作《关于两种世界体系的对话》中，该书完成于1632年，在日本岩波文库中可以找到它的日文版本，即便在当今时代阅读，依然能够感受到其独特的魅力。

伽利略不仅是物理学家，同时还是文学家，这种双重身份让这本书经久不衰，时至今日依然吸引读者反复品味。

伽利略在地心说的拥护者面前毫不留情地发起抨击。他的言辞给地心说的支持阵营带来了沉重打击，同时也激起了宗教方面的强烈不满。

众所周知，伽利略受到了教会当局的审判，在审判过程中被强迫表示自己的见解是不正确的，尽管他最终没有被判处死刑，却依然被判处终身囚禁，不允许离开那个地方。

从此以后，伽利略失去了行动自由，也无法离开家乡。尽管如此，他巧妙地利用这段被限制的时期，完成了《关于两种新科学的论述与数学证明》（1638）这部著作。该书详细阐释了后来我们所说的力学基础，并且表达得浅显易懂。同时，这部作品也加深了地动说给当时人们带来的冲击。

自哥白尼、布鲁诺直至伽利略，众多仁人志士付出了巨大代价，最终牛顿（1643 —1727）才将地心说学说彻底推翻。牛顿将伽利略和开普勒（1572 —1630，德国天文学家、数学家）的研究成果圆融地整合，由此创立了牛顿力学体系。

大致而言，伽利略在其著作《关于两门新科学的对话》里阐述了地面物体活动的规律性。与此形成对照的是，开普勒发现了天体运行的法则。最终，牛顿凭借一个共同的原理，把这两者融合在了一起。

伽利略借助自制的观测仪器初次审视月球时，察觉到某种现象，此事令他感到十分意外。亚里士多德原先认为，凡尘地面的物质繁杂且污浊不堪，然而月球以及更遥远的天穹，其构成却迥异于此，乃由更为纯净的元素构成。

那个时代的所有人都坚信亚里士多德的说法，然而伽利略通过望远镜观察，发现月球表面也有山峦、洼地和峡谷，情况跟地球差不多。基于这个观察，他推测月球乃至整个宇宙都是由类似物质组成的。这一发现，在人类探索世界的进程中，又是一次具有里程碑意义的进展。

伽利略这一成果具有非凡价值，其影响甚至超过阿波罗号登陆月球事件。然而，即便是伽利略这样杰出的科学家，也无法探究出更深层次的规律，那就是地面物体与天体都遵循同样的自然法则。

破解这个谜题的，就是牛顿这个人。牛顿用来破解这个谜题的得力工具，就是微积分这门崭新的数学分支。牛顿几乎毫无保留地证实了日心说，他证明了太阳系的运行规律，而这一证实过程所运用的，正是微积分。

微积分，作为论证牛顿力学存在的基础，其起源就与物理学紧密相连。它本质上就是物理学研究的重要工具。

06

微分与积分

微积分到底是怎么一回事呢？概括而言，这种思路就包含在前面提到的笛卡儿四项准则中的第二项和第三项里。第二项准则指出，面对棘手难题时，应当努力将其拆解成若干个更小的单元，从而让难题变得容易处理。这便是分析的过程。

我们再看看笛卡儿那句话：对于需要探究的每个问题，在必须的情况下尽量把它分成更多细小的单元，这样就能更有效地处理它们。这种方法其实就类似微分。微分顾名思义，就是把事物拆解成极小的片段。

笛卡儿的第三条原则，正好契合积分，就是把分割开的细小部分重新拼接到一起。微分体现的是分析，而积分则代表综合。积分这个词，其实蕴含着把分割的部分累积起来的含义，是个相当精妙的词汇。

以往，微积分被视为极为深奥的学问，然而实际上，微积分本质上是一种极为基础的理念。部分观点认为微积分难以把握，但事实上，微积分的推理方式十分顺理成章开yun体育app官网网页登录入口，我们甚至能够完全依照微分、积分的字面含义来领会。

有人认为早年间微积分鲜有人懂，但并非这样。只是那时微积分在微分方面关于无穷分割的部分，表述方式与现在不同。这部分内容说难的话，确实不易理解。过去有种戏称把微分按字面理解为“略知一二”，把积分则戏称为“勉强明白”，不过这些都只是玩笑，如今已不再流行。

众所周知，当前高中教育涉及微积分知识，如图 1-1 所示，这主要包含曲线的相关概念。

如图 1-1 所示，该曲线乍看之下是弯曲的，但如果将其仔细划分，然后选取其中一小段来察看，划分出来的那部分就非常接近直线了。划分得越精细，其划分出来的那部分就越像直线。

曲线极为繁复，直线却十分简明，通过分割，可将繁复曲线化作简明直线，此即微分之构思，虽不断“化作”，却诸多不便，然此构思本身极为直白

借助放大镜审视曲线的某个区段，可见该区段呈现近似直线的形态，借助高倍率观察设备，比如显微镜，进一步观察，可见其形态更加接近直线，借助电子显微镜进行观察，可见其形态几乎呈现为直线

总而言之，借助放大倍数更大的显微镜来观测曲线，所见曲线会愈发趋近于直线形态，这其实蕴含着微分的核心理念，并不算有何独特之处，之所以要将曲线视作直线，是由于直线属于极为便于应对的形态，然而，假如持续提升显微镜的放大倍数，尽管观测到的局部

不断深入，然而同时，我们的观察角度也会逐渐收窄，这是这种途径的一个不足之处。我们所能捕捉到的对象局部会越来越有限，审视的领域会持续缩小。为了纠正这个不足，我们可以把探测到的微小片段拼接、整合，由此便能掌握全局的景象。这种拼接、整合的过程就是积分。领会了这些要领之后钻研微积分，便会发觉其思维模式非常平易。

07

微分与积分的力量

微积分在某种程度上算是一种基础性的思维模式，这种思维模式虽然看似简单，却产生了令人意想不到的效果。在数学领域，能够展现出这般强大能力的理念实在是非常罕见。

实际上，略微了解微积分的人都能明白它的关键作用，如果没有微积分，现代数学或许只能达到当前水平的三分之一。

同样，缺少微积分，现代天文学和物理学都会失去其体系中的关键支撑，如今这样的发展水平也无法实现。可以说，若不运用微积分，自然科学的探究几乎无法进行。

但是，微积分如此关键的知识，其思维过程却极为基础，实际上只是将笛卡儿四项准则中的第二项和第三项准则进行了极为出色的运用。

通俗地讲，微积分就好比一种精密的观察工具，能让我们更清晰地洞察各种自然现象。具体来说，对于那些形状弯曲的事物，只需借助微分这一工具，就可以将其局部看作是直线，这样一来，分析起来就会变得非常容易。

放大这个“视角”，如同借助放大镜，可以让我们看清极其微小的细节。而聚合这些微小的细节，又如同把它们拼接在一起，使我们能够把研究主体重新看作是一条曲线来把握。

分解再拼接，微积分的构思十分容易理解。缺少微积分，我们就不可能探究太阳系中各个行星环绕太阳运转的方式，也无法揭示太阳系天体运动的规律。

为了处理太阳系天体运行这一当时极为重要的课题，牛顿提出了微积分这一思路。早先提到过，牛顿将伽利略、开普勒的成果融合，建立了牛顿力学体系。

天体运行的详细方式，早在牛顿诞生之前，开普勒就已经深入探究并明确了，他由此提出了后世称作的开普勒法则。

《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》