走进三角学的心脏：勾股定理的应用和魅力
方程是数学、科学和技术的命脉。
数学公式向来令人望而生畏，霍金的出版商曾直言不讳，书中每添一个公式，销售量便会骤降一半，那个著名的质能方程，倘若被删去，著作的销量将额外增长一千万册。
在孩子们的作业本里，一列列的等号在静待他们深入思考，这些等号都曾是照亮过我们的明灯。
科研文献中的每一个等号都奋力地推动着人类文明迈出微小进展，它们是此刻指引我们的希望之光。
在《重塑现实的十七个公式》一书中，作者伊恩·斯图尔特引领我们回顾了人类文明史上最具影响力的十七个数学等式，这些等式部分揭示了数量与空间间的根本联系，部分教会我们借助更多维视角理解世界变迁，部分则为我们指明了通往未来生活的方向，这十七个等式开yun体育app官网网页登录入口，堪称人类发展历程中的十七个里程碑、十七个丰碑以及十七盏指路明灯。
《改变世界的17个方程》
伊恩•斯图尔特
译者：劳佳
在直角三角形里，两个互相垂直的边的长度平方加起来，就等于最长的边平方，这就是勾股定理，写作a²+b²=c²。
这是连小学生都知道的勾股定律，又叫毕达哥拉斯定理。
它告诉我们什么？
直角三角形的三个边之间有什么关系。
它为什么重要？
揭示了图形与数理的深刻关联，使人得以借助坐标来量度空间间隔，同时促成了三角学的诞生。
它带来了什么？
测量地理坐标，引导方向，还有近代才出现的狭义相对论和广义相对论，这些是当前对宇宙空间、时间流逝以及引力现象认知最精深的理论体系。
1 河马上的婆娘
大约公元前 570 年，毕达哥拉斯诞生于爱琴海东岸的希腊萨摩斯岛。他既是哲学家，也是几何学家。关于他的生平事迹，我们了解得非常有限，而且这些信息都是源自年代久远的记载，其真实可靠性值得商榷，但其中一些核心事件或许并非虚构。约在公元前 530 年，他迁移到了古希腊的殖民地克罗顿，也就是今天的意大利境内。他在那个地方建立了一个哲学性质的宗教组织，即“毕达哥拉斯学派”，该组织认为整个宇宙的运行都遵循着数字的规律，如今，这位学派的奠基者之所以广为人知，是因为一个以他本名命名的几何定理。
有关毕达哥拉斯定理流传着一个广为人知的段子，涉及“河马身上的女子”的荒唐文字游戏，这种段子在互联网上随处可见，然而其确切出处却难以考证。此外，还出现过描绘毕达哥拉斯的漫画作品、印有相关图案的T恤以及希腊发行的纪念邮票。
我们无从得知毕达哥拉斯是否真的证得了那个定理，就连这定理是否出自他手也无法确定。很可能是毕达哥拉斯的一个随从，又或者是某个巴比伦人或者苏美尔人发现了它。不过人们还是把功劳记在了毕达哥拉斯头上，他的名字因此得以流传。不管这定理的真正出处是什么，它以及相关成果都给人类历史带来了深远影响。它们的的确确拓展了我们的世界。
2 直角三角形：三角学宇宙的起源
现实生活里多数三角形并非直角三角形，因此方程直接应用显得不够。不过任何三角形都能分解成两个直角三角形，同样任何多边形也能拆分成若干个三角形。由此可见直角三角形至关重要：它们揭示了三角形形态和边长之间的密切联系。由此衍生出的学科叫三角学，意为“测量三角形”。
直角三角形是三角学领域的基石，尤其它定义了核心的三角函数：正弦、余弦和正切这三个概念。这些名称源自阿拉伯文kaiyun全站登录网页入口，而这类函数及其众多前身的发展历程，揭示了如今所见的版本是如何历经曲折演变而来的。
直角三角形中必有一个直角kaiyun官方网站登录入口，剩余两个角没有固定值，只要二者之和为90度即可。每个角度都有三个关联函数，这些函数是用于推算对应数值的法则。以角A为例
通常用字母a、b、c表示三条边的长度，我们规定正弦值、余弦值和正切值是这样确定的：
这些量只跟角 A 有关，因为只要角 A 确定，所有直角三角形本质上都一样，只是大小有差异。
由此，我们能够针对不同方位编制正弦、余弦以及正切数值的清单，并借助这些数据来推算直角三角形的各项参数。历史上一个由来已久的典型用途，便是通过地面观测来测算高耸物体的垂直高度。譬如，若在百米距离外进行测量，发现仰角为二十二度。参照图一五，将角A的度数设定为二十二度，那么线段a的长度就等于该柱体的垂直高度。然后，正切函数的定义告诉我们
所以
tan 22度值等于0点四零四，因此可以算出a等于四十点四米。
得到三角函数后，能够直接将毕达哥拉斯定理推广至非直角三角形情形，如图 1.6 所示，该图描绘了一个包含角度 C 且三条边长分别为 a、b、c 的三角形，把这个三角形分割成两个直角三角形，接着运用两次毕达哥拉斯定理并结合一些代数运算，即可证明
这个公式和毕达哥拉斯定理很接近，只是多了个附加项，这个“余弦定理”和毕达哥拉斯定理的功能相同，都是用来建立 c 与 a 和 b 之间的关联，只是现在需要提供角 C 的相关数据。
余弦定理是三角学领域的关键定理之一。已知三角形的两条边及其夹角，能够推算出第三条边的长度。接着，借助相同的原理，可以求出剩余的各个角度。这些计算方法本质上都可以归结为直角三角形的特性。
3 用三角学计算出地球的大小
测绘领域的发展始于 1533 年，当时荷兰地图绘制专家赫马 ·弗里修斯（Gemma Frisius）在其著作《地点描述小册》（Libellus de LocorumDescribendorum Ratione）里阐述了运用三角测算方法绘制精确地图的原理，这一创新标志着该学科的显著进步。这个办法的消息迅速传遍了欧洲各地，丹麦的贵族和天文学家第谷·布拉赫也听到了这个消息。1579年，第谷借助这个方法，绘制出了他天文台所在文岛非常准确的地图。
到 1615 年，荷兰数学家维勒布罗德·斯内利厄斯将这种方法完善为现代形式，即三角测量法。此方法借助三角形网络来测量区域。通过精确测量初始长度和众多角度，能够确定三角形顶点的坐标，进而推算出三角形内部所有重要几何属性。
斯内利厄斯借助一个包含三十三角形的结构，测出了荷兰两座城市阿尔克马尔和贝亨奥普佐姆的间隔。这两个城镇之所以被选作参照点，是因为它们处在同一条经度上，并且距离正好是一度之差。掌握了它们之间的实际距离，他便能够推算出地球的整体尺度。他于 1617 年将这一发现载入其著作《荷兰埃拉托斯特尼》之中。计算结果准确度达到了 4% 左右。他进一步调整了三角函数的公式，用以体现地球球面的形态，这一改进为精准航行奠定了基础。
这篇文章内容源自图灵新知，选自《改变世界的17个方程》，【遇见数学】已获得转载授权。
